弦切角定理证明方法

时间:2014-02-01 04:36:47
染雾
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弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法

(1)连OC、OA,则有OC⊥CD于点C。得OC‖AD,知∠OCA=∠CAD。

而∠OCA=∠OAC,得∠CAD=∠OAC。进而有∠OAC=∠BAC。

由此可知,0A与AB重合,即AB为⊙O的直径。

(2)连接BC,且作CE⊥AB于点E。立即可得△ABC为Rt△,且∠ACB=Rt∠。

由射影定理有AC=AE*AB。又∠CAD=∠CAE,AC公用,∠CDA=∠CEA,得△CEA≌△CDA,有AD=AE,所以,AC=AB*AD。

第一题重新证明如下:

首先证明弦切角定理,即有∠ACD=∠CBA 。

连接OA、OC、BC,则有

∠ACD+∠ACO=90°

=(1/2)(∠ACO+∠CAO+∠AOC)

=(1/2)(2∠ACO+∠AOC)

=∠ACO+(1/2)∠AOC,

所以∠ACD=(1/2)∠AOC,

而∠CBA=(1/2)∠AOC(同弧上的圆周角等于圆心角的一半),

得∠ACD=∠CBA 。

另外,∠ACD+∠CAD=90°,∠CAD=∠CAB,

所以有∠CAB+∠CBA=90°,得∠BCA=90°,进而AB为⊙O的直径。

2

证明一:设圆心为O,连接OC,OB,。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)

∵∠BOC=2∠CAB(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠TCB=∠CAB(定理:弦切角的'度数等于它所夹的弧的圆周角)

证明已知:AC是⊙O的弦,AB是⊙O的切线,A为切点,弧是弦切角∠BAC所夹的弧.

求证:(弦切角定理)

证明:分三种情况:

(1)圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径,AB切⊙O于A,

∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,

∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角 (2)圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D,

若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么,连接EC、ED、EA

则有:∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴ ∠CEA=∠CAB

∴ (弦切角定理)

(3)圆心O在∠BAC的外部,

过A作直径AD交⊙O于D

那么 ∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等

应用举例

例1:如图,在Rt△ABC中,∠C=90,以AB为弦的⊙O与AC相切于点A,∠CBA=60° , AB=a 求BC长.

解:连结OA,OB.

∵在Rt△ABC中, ∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(RT△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2:如图,AD是ΔABC中∠BAC的平分线,经过点A的⊙O与BC切于点D,与AB,AC分别相交于E,F.

求证:EF∥BC.

证明:连DF.

AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3:如图,ΔABC内接于⊙O,AB是⊙O直径,CD⊥AB于D,MN切⊙O于C,

求证:AC平分∠MCD,BC平分∠NCD.

证明:∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B,

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B,

∴∠MCA=∠ACD,

即AC平分∠MCD,

同理:BC平分∠NCD.

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